El movimiento del Sol a lo largo de la eclíptica y la medida del tiempo

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En la anterior animación estudiamos que el movimiento de traslación de la Tierra alrededor del Sol es apreciado por un observador terrerte como el movimiento del Sol a lo largo de un círculo máximo de la esfera celeste, la eclíptica, inclinado 23,5º con respecto al ecuador celeste. Este círculo es recorrido por el Sol en un año en sentido este-oeste. Esto significa un desplazamiento de 360º/365 = 0,986º al día hacia el E con respecto al fondo de estrellas fijas. Este desplazamiento del Sol por la esfera celeste tiene consecuencias cruciales en la manera de medir el tiempo, algo crítico en navegación astronómica.

La idea intuitiva que todos tenemos es que un día es el tiempo que tarda la Tierra en dar una vuelta sobre si misma, vista desde nuestra hipotética nave espacial desde la que vemos la esfera celeste desde fuera, como resultado de su moviento de rotación alrededor del eje de los polos. O, visto desde nuestro punto de vista de observadores terrestres, un día es el tiempo que tarda la esfera celeste (y con ella todos sus astros) en dar una vuelta completa a nuestro alrededor en sentido este-oeste. Para poder medir el tiempo lo que hemos de hacer entonces en fijarnos en un punto concreto y fijo de la esfera celeste, por ejemplo una estrella tan lejana que consideramos fija a todos los efectos. Incluso mejor, el punto vernal, que es uno de los puntos de corte del ecuador celeste con la eclíptica (de los dos aquél en el que la declinación del Sol pasa de ser sur a ser norte). Así definimos de manera precisa el concepto de día: un día es el tiempo que transcurre entre dos pasos consecutivos del punto vernal por el meridiano celeste del observador. El día así definido se conoce como día sidéreo pues mide el tiempo que tarde la Tierra en dar una vuelta con respecto a las estrellas fijas. Un día sidéreo lo dividimos entonces en 24 horas sidéreas, cada una de las cuales dividimos en 60 minutos sidéreos, etc. Observa entonces que el tiempo sidéreo no es más que el horario de Aries en el lugar expresado en horas (naturalmente, a razón de 1 hora sidérea por cada 15º o viceversa).

Parece pues que tenemos definida con rigor la menera de medir el tiempo. Pero el tiempo siréreo, fundamental en astronomía, no es útil para nuestra vida diaria. La razón es fácil de entender: nuestro ritmo vital, los periodos de sueño y actividad, etc, los marca el Sol y no una estrella o el punto vernal. Imagina que en este preciso instante coinciden pasando por tu meridiano el punto vernal y el Sol. Comienza pues en este instante un nuevo día sidéreo. Cuando se haya completado un día sidéreo, 24 horas sidéreas después, el punto vernal volverá a estar exactamente en tu meridiano. Pero el Sol aun no lo estará pues durante las 24 horas sidéreas transcurridas se habrá desplazado los 0,986º hacia el este a lo largo de la eclíptica. Así que para tener al Sol de nuevo en el meridiano de manera que sea la misma hora solar que en el instante en que ayer comenzamos este experimento aun han de transcurrir casi 4 minutos para que la rotación de la esfera celeste coloque de nuevo al Sol en tu meridiano. Y cada día acumularemos esos casi 4 minutos de retraso, así que pasados unos meses el tiempo siéreo y el tiempo solar se habrán descoordinado completamente. Si, por ejemplo, tu horario laboral fuese de 08:00 a 15:00 horas sidéreas, a medida que transcurran los meses entrarías a trabajar a todas las horas solares del día y de la noche, es decir, vivirías sometido a un continuo cambio de turno laboral. Creo que eso no lo permitirían nuestros queridos sindicatos que velan por nuestro bienestar e intereses, ¿no?

Podemos imaginar una solución sencilla al problema anterior: puesto que hemos de vivir de acuerdo con el Sol y no con las estrellas, midamos el tiempo utilizando los pasos del Sol por el meridiano como reloj. Es decir, definimos un día solar como el tiempo transcurrido entre dos pasos consecutivos del Sol por nuestro meridiano. Con esto resolvemos el problema comentado en el párrado anterior. El único precio a pagar es que ahora serán las estrellas las que no estarán en la misma posición un día solar después: si ahora mismo tienes al Sol y a una estrella en tu meridiano, mañana la estrella llegará a tu meridiano unos 4 minutos antes que el Sol, así que cuando mires al cielo a la misma hora solar las estrellas estarán esos cuatro minutos al oeste de donde estaban ayer a la misma hora solar. Y, claro está, el fenómeno es acumulativo día a día. Así que si esta noche, a las 12 de la noche, ves unas determinadas constelaciones, esas constelaciones llegarán al mismo sitio del cielo unos cuatro minutos antes cada día. Pasados unos meses estarán en el mismo lugar del cielo varias horas antes, cuando aun es de día, y no las verás. Por eso en cada época del año vemos unas constelaciones diferentes cuando miramos al cielo durante la noche. Pero no parece que este problema preocupe mucho a nuestros queridos sindicatos, tan sólo afecta a los amantes del cielo que, lamentablemente, no somos muchos y ya nos las apañamos para saber cuándo hemos de mirar y hacia donde para ver lo que deseamos observar...

Pero no es oro todo lo que reluce: el Sol no puede usarse para medir el tiempo contando sus pasos por el meridiano. La solución del párrafo anterior no es válida. El motivo es muy simple: los 0,986º que se desplaza el Sol hacia el este a lo largo de la eclíptica no son constantes, es decir, en unas épocas del año se desplaza más deprisa y en otras más despacio, el promedio es, efectivamente, 0,986º, pero sólo el promedio. Si utilizamos los pasos del Sol por el meridiano para contar el tiempo, resulta que en unas épocas del año los días serán más largo y en otras épocas más cortos. Tendríamos una unidad de tiempo que no es constante y, por tanto, esa unidad no es válida. Es como si mides longitudes con un metro flácido que unas veces es más largo que otras, no puedes medir longitudes con un metro así. La causa de este comportamiento del Sol en su deambular anual por la eclíptica es la traducción del comportamiento de la Tierra en su órbita alrededor del Sol. Resulta que los planetas, la Tierra entre ellos, describen órbitas alrededor del Sol que están sometidas necesariamente a las tres Leyes de Kepler. Esas leyes que rigen el movimiento de un cuerpo ligado gravitacionalmente a otro, como es el caso de un planeta, no son fruto de la casualidad, son una consecuencia de la forma que tiene la atracción gravitatoria. Las leyes de Kepler se pueden demostrar rigurosamente y de manera sencilla, pero eso está fuera de los objetivos de esta web. De estas leyes va esta animación.

En la parte inferior izquierda de la animación puedes elegir cuál de las tres leyes de Kepler quieres estudiar. La primera establece que las órbitas de los planetas son elípticas. Jugando con esta ley y los controles que tienes en la parte superior derecha puedes simular la órbita de un planeta ficticio, variando el semieje de la elipse y su excentricidad. La segunda ley de Kepler es la que me interesa discutir ahora. Esa ley es consecuencia directa de que el momento angular del planeta ha de ser necesariamente constante porque la fuerza a la que está sometido es una fuerza central (está dirigida siempre al mismo punto, el centro del Sol). La ley establece que la velocidad areolar del planeta es constante. Eso quiere decir que el área del sector definido por el arco recorrido por el planeta en un tiempo dado y los radios de los extremos de ese arco ha de ser constante. Así que cuando el planeta se encuentra más cerca del Sol ha de recorrer, en el mismo tiempo, un arco de su órbita mayor que cuando está en la parte de la órbita más alejada del Sol. Así que cuando está más cerca ha de ir más deprisa que cuando está más lejos. En la parte inferior derecha de la animación tienes controles para elegir el caso de planetas concretos de nuestro sistema Solar. Observarás que la excentricidad de la órbita terrestre es tan pequeña que su apariencia es la de un círculo. Pero no lo es, es una elipse, y las diferencias de velocidad de la Tierra en distintas zonas de su órbita o, visto desde nuestro punto de vista, la diferencia de velocidad del Sol en distintos momentos de su recorrido anual a lo largo de la eclíptica, son suficientemente importantes como para invalidar los pasos del Sol por el meridiano como reloj.

Así que lo que hacemos es prescindir del Sol real e inventar un sol que se comporte bien. Pero inventar un sol que se comporte como es debido requiere cierto cuidado porque hay dos efectos que contribuyen a que el Sol real no sea útil para medir el tiempo. Por un lado está la falta de uniformidad, ya discutida en el párrafo anterior, en la velocidad angular con la que recorre la eclíptica. Este problema se solventa definiendo un Sol Ficticio que es, por definición, un sol ideal (teórico, no real, naturalmente) que recorre la eclíptica a velocidad constante (sin cumplir, por tanto, la segunda ley de Kepler). Este Sol Ficticio coincide, por definición, con el Sol real en el perigeo (punto de la órbita de la Tierra de menor distancia al Sol) y en el apogeo (punto de mayor distancia de la Tierra al Sol). Este Sol Ficticio recorre, por tanto, exactamente 0,986º de eclíptica por día. Pero esto no basta para disponer de un patrón temporal rigurosamente constante. ¿Por qué? Pues porque la eclíptica no es perpendicular al eje de rotación de la esfera celeste, la ecliptica y el ecuador forman un ángulo de 23,5º. Así que lo importante es que la proyección sobre el ecuador celeste del Sol Ficticio se desplace uniformemente. Sólo así garantizaríamos un patrón de tiempo uniforme a partir de los pasos de este sol imaginario por el meridiano. Pero resulta que esto no se cumple. La situación es esta:

En esta figura l es la distancia angular a lo largo de la eclíptica entre el punto vernal y el Sol Ficticio (de hecho, ese ángulo es una de las coordenadas eclípticas de un punto de la esfera, se llama longitud eclíptica. Tienes más detalles en el Capítulo 11 de mi libro Navegación Astronómica). El ángulo a es la distancia angular sobre el ecuador entre el punto vernal y el meridiano del Sol Ficticio. Es pues la ascensión recta del Sol Ficticio (medida en grados en lugar de horas). El triángulo formado por estos dos lados y el arco de meridiano del Sol Ficticio (en amarillo en la figura) es un triángulo esférico pues todos sus lados son arcos de círculos máximos. Podemos pues aplicar el teorema de las cotangentes de la trigonometría esférica (Capítulo 2 del mismo libro). Teniendo en cuenta que la cotangente de 90º es cero (y el ángulo en el vértice donde se cortan el ecuador y el meridiano es obviamente 90º), obtenemos:

cot(l) sin(a) = cos(a) cos(e)  =>  tan(a) = tan(l) cos(e)

donde hemos tenido en cuenta que la tangente de un ángulo es la inversa de su cotangente. Esa ecuación nos dice cuánto vale la ascención recta del Sol Ficticio en función su longitud eclíptica y de la oblicuidad de la eclíptica (que es constante). Si queremos saber cómo varía a en función del tiempo no tenemos más que derivar esa ecuación con respecto al tiempo. El resultado es que:

da /dt = [cos(e) cos2(a) / cos2(l)] dl/dt

donde cos2 indica coseno al cuadrado. Así que siendo, por definición, constante la velocidad del Sol Ficticio a lo largo de la eclíptica (es decir, dl/dt = constante = 0,986º por día), no lo es la velocidad a la que varía su ascención recta, da/dt no es constante pues depende de l y de la misma a. Así que los pasos del Sol Ficticio por el meridiano tampoco dan lugar a un patrón uniforme para medir el tiempo.

Para resolver el problema hemos de definir un nuevo sol imaginario, el Sol Medio. Por definición, el Sol Medio recorre el ecuador celeste (no la eclíptica) hacia el este a velocidad constante y, por definición, coincide con el Sol Ficticio en los equinoccios. Este Sol Medio sí es, por tanto, un patrón uniforme para medir el tiempo y es el que utilizamos para definir de forma precisa los conceptos de día solar medio (y hora, minuto y segundo solares medios) o, simplemente, el día civil (y la hora civil del lugar).

Un día civil es el tiempo que transcurre entre dos pasos consecutivos del Sol Medio por el meridiano. La hora civil del lugar, Hcl, es el tiempo transcurrido desde que el Sol Medio se encontraba en el meridiano inferior del lugar. Es decir, para no entorpecer la vida diaria cambiando de fecha a mediodía, tomamos como comienzo de un nuevo día civil el instante en que el Sol Medio se encuentra en el meridiano inferior del lugar. Es evidente entonces que a las 12 horas civiles de un lugar el Sol Medio se encuentra exactamente en el meridiano superior de ese lugar. Su horario en el lugar es pues 0º en ese momento. Por contra, a las 0 horas civiles del lugar (o las 24, claro está), el Sol Medio está en el meridiano inferior de ese lugar, así que en ese instante su horario en el lugar es 180º. En otras palabras, el horario en el lugar del Sol Medio y la hora civil del lugar son la misma cosa media de dos maneras ligeramente diferentes (en horas o en grados) y desde dos orígenes diferentes (el meridiano inferior del lugar o el meridiano superior del lugar). Está claro entonces que:

horario en el lugar del Sol Medio = Hcl x 15 + 180º

donde Hcl es la hora civil del lugar.

La hora civil del lugar (o, lo que es lo mismo, el horario del Sol Medio en el lugar) es el concepto fundamental para entender nuestra medida del tiempo (dejando fuera de esta discusión el tiempo atómico basado en relojes atómicos y no en la rotación de la Tierra. De eso hablaremos en otro momento). Pero está claro que la hora civil del lugar es un tiempo local, cada meridiano tiene el suyo. A un instante de tiempo concreto, único, le corresponden infinitas horas civiles, una por cada uno de los infinitos meridianos de la Tierra. Para disponer de una forma única de referirnos a un instante de tiempo concreto, definimos el tiempo universal, UT, como la hora civil del meridiano de Greenwich. Evidentemente, a un instante UT dado le corresponderá una civil del lugar en cualquier otro meridiano que estará relacionada con UT mediante la longitud L de ese lugar. No tendremos más que sumar o restar a UT la longitud expresada en horas (dependiendo de que estemos al este o al oeste de Greenwich) para obtener la hora civil del lugar que corresponde a ese instante de tiempo. Y, por supuesto, no tenemos que recordar fórmula alguna o criterios de signos, tan sólo hemos de utilizar los conceptos: en un instante dado es más tarde cuanto más al este estemos y es más temprano cuanto más al oeste estemos, simplemente porque el cielo rota hacia el oeste, es decir, el Sol Medio va hacia el oeste con respecto a nosotros.

La hora civil del lugar es un concepto fundamental en navegación astronómica. Pero en la vida diaria no es práctico. No podemos cambiar el reloj cada vez que nos movamos. Para resolver ese asunto se han definido los husos horarios y se asigna entonces la misma hora legal a todos los meridianos del huso, en concreto, la hora legal de todos los puntos de un huso horario es la hora civil del meridiano central del huso. Y, finalmente, los gobiernos añaden a veces una o dos horas a la hora legal que le correspondería a un pais ateniéndose al huso en el que se encuentra, obteniéndose de esa manera la hora oficial, que es la que en realidad llevamos en nuestros relojes. Pero estoy seguro de que esto ya lo sabías, ¿verdad? Si no, tienes más detalles en el Capítulo 7 de ese libro tan bueno que he comentado más arriba.....

¿Y el Sol real? ¿Qué ha pasado con él? Lo olvidamos para poder definir el tiempo porque no se comporta como es debido. Pero puesto que hemos hecho coincidir el Sol Ficticio con el Sol real en dos puntos de la órbita y, después, el Sol Medio lo hemos hecho coincidir con el Sol Ficticio en otros dos puntos, resulta que el Sol real está siempre bastante próximo al Sol Medio en la esfera celeste. Como unas veces va más deprisa y otras más despacio, en unas épocas del año va un poco por delante y otras un poco por detrás del Sol Medio, vamos que el Sol real es como el perrito faldero del Sol Medio paseando por el parque. El precio a pagar es que el Almanque Náutico tiene que decirnos dónde está el Sol real en cada instante para poder utilizarlo en navegación astronómica. Es decir, el Almanaque incluye las coordenadas celestes del Sol real para cada hora de tiempo UT durante todo el año. Fíjate que el Almanaque también contiene las coordenadas celestes del Sol Medio: el horario en Greenwich del Sol Medio no es más, según la ecuación anterior, que UT x 15 + 180º. Su declinación es obviamente cero pues está siempre sobre el ecuador celeste.

Así que el cachonceo que se trae el Sol real por el cielo, con sus acelerones y parones a lo largo de la eclíptica, unido a que su declinación cambia continuamente porque la eclíptica está inclinada respecto al ecuador celeste hace que, visto desde nuestro punto de vista, superponiendo la rotación diaria de la esfera celeste y la traslación anual del Sol alrededor de la eclíptica, el movimiento del Sol respecto a nosotros sea bastante complejo. Pero a ese asunto dedicaré la próxima animación, que por hoy ya está bien de rollo.

Animación cortesía de la Universidad de Nebraska. Traducción por L. Mederos.

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