¿Es casual que el Sistema Solar sea casi plano?

Que la órbita de un planeta alrededor de su estrella sea plana y no, por ejemplo, una especie de montaña rusa, es algo bien establecido y muy fácilmente demostrable: es una consecuencia directa del hecho de que la fuerza que mantiene al planeta en órbita, la atracción gravitatoria ejercida sobre él por la estrella, es una fuerza central, es decir, una fuerza que apunta siempre a un mismo punto (el centro de la estrella). El momento angular del planeta es un vector L que se define como el producto vectorial de su vector de posición r (el vector que une en cada instante el centro de la estrella con el planeta) y el vector momento lineal (el producro de la masa m del planeta por su vector velocidad v):

L = r x mv

Puesto que el momento angular es el resultado de un producto vectorial, será en cada instante un vector perpendicular al plano definido por los dos vectores que multiplicamos vectorialmente entre sí para definirlo (el resultado de un producto vectorial es siempre un vector perpendicular a los dos vectores que se multiplican). La variación de L con el tiempo se obtendrá calculando su derivada temporal:

dL/dt = dr/dt x mv + r x m dv/dt = r x F

donde el vector F es la fuerza que actúa sobre el planeta. Fíjate que el primer sumando del segundo miembro de esa ecuación es siempre cero porque dr/dt es la velocidad así que su producto vectorial con mv es necesariamente cero (el producto vectorial de dos vectores paralelos es siempre nulo). En el segundo sumando hemos tenido en cuenta que la derivada de la velocidad es la aceleración y su producto con la masa es la fuerza que actúa sobre la partícula (el planeta en este caso), de acuerdo con la segunda ley de Newton. El resultado anterior es completamente general: proporciona la variación con el tiempo del momento angular de una partícula de masa m que se mueve sometida a una fuerza F. Pero en el caso de una fuerza central, como es el de un planeta orbitando alrededor de su estrella, r y F son siempre paralelos (basta elegir el orgien de coordenadas en el punto al que apunta siempre la fuerza, el centro de la estrella en el caso de un planeta). Así que ambos vectores son siempre paralelos y, por tanto, su producto vectorial es nulo y, en ese caso, el vector L es constante, no cambia con el tiempo, porque su derivada temporal es cero. Pero que L no cambie con el tiempo significa que no puede cambiar ni su módulo, ni su sentido ni su dirección. Y puesto que L es siempre perpendicular al plano determinado por r y v ese plano no puede cambiar con el tiempo. Es decir, la órbita del planeta ha de ser necesariamente plana.

Pero si una estrella tiene, como nuestro Sol, varios planetas, ¿por qué todos ellos orbitan casi en el mismo plano? Cada uno de ellos ha de seguir, según acabamos de discutir, una órbita plana, pero cada uno de ellos podría orbitar en un plano diferente, algo así como esto:

Sin embargo, el proceso de formación de un sistema planetario como nuestro Sistema Solar no puede terminar en algo así. Los sistemas planetarios se forman a partir de una nube tridimensional de gas y polvo (resultado, por ejemplo, de la explosión de una supernova anterior). Si esa nube tridimensional no estuviese girando como un todo la atracción gravitatoria entre sus partículas la haría colapsar, disminuyendo progresivamente su volumen de manera hidrostática (es decir, en todas las direcciones), aumentando, por tanto, su densidad. Pero si la nube gira como un todo alrededor de un determinado eje, entonces las partículas que la componen sufren, además de la atracción gravitatoria debida a las otras partículas, la fuerza centrífuga que tiende a alejarlas del eje de giro. Si la velocidad angular de giro es w, el radio de giro es r y la masa de la partícula es m, la fuerza centrífuga es  Fc = mrw^2  (w^2 significa w al cuadrado) y se dirige hacia afuera del radio de giro:

Así que en la dirección perpendicular al eje de giro la fuerza centrífuga contrarresta la atracción gravitatoria. Pero en la dirección del eje de giro no hay nada que contrarreste a la atracción gravitatoria. Por tanto, la nube termina colapsando en la dirección del eje de giro pero no en la dirección perpendicular dando lugar así a un sistema plano. Aquí tienes la misma idea expresada de otra manera:

En el caso de nuestro Sistema Solar, el resultado de este proceso se resume en un sistema casi plano con estos datos:

Sólo los planetas enanos muestran grandes inclinaciones de sus órbitas con respecto al plano de la órbita terrestre (la eclíptica), sugiriendo episodios catastróficos durante el proceso de formación del Sistema Solar (colisiones con otros cuerpos, etc). En lo que se refiere a los cuatro planetas visibles a simple vista que se utilizan en navegación astronómica, Venus, Marte, Júpiter y Saturno, vemos que la inclinación de sus órbitas respecto a la nuestra es muy pequeña, algo más de 3º en el caso de Venus como mucho. Esto significa, visto desde nuestra posición de observadores del cielo situados sobre la superficie de la Tierra, que veremos a los planetas siempre dentro de una banda del cielo que es casi la misma banda en la que vemos moverse al Sol a lo largo del año, es decir, siempre en las proximidades de la eclíptica, como muestra esta animación:

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Ten en cuenta que la posición de la eclíptica vista desde un punto del planeta cambia a lo largo del año. El Sol está siempre sobre la eclíptica que, aunque sea un plano perfectamente definido, vemos desde nuestra posición en la Tierra recorrer durante un año una banda de 23.5º a cada lado del ecuador celeste como consecuencia de la inclinación de nuestro eje de rotación con respecto al plano de la órbita terrestre combinado con nuestro moviento de traslación alrededor del Sol, como ya estudiamos en esta animación o, también, en esta otra.

En la animación anterior se incluye también la Luna a la hora de dibujar la banda del cielo en el que la encontraremos siempre. La órbita de la Luna es realmente compleja y a ella le dedicaremos algún capítulo específico en esta serie. Pero de momento basta con decir que la órbita de la Luna está inclinada unos 5º con respecto al plano de la órbita terrestre, ese es el motivo de que en la animación anterior la banda de los planetas, que incluye también a nuestro satélite, se ensanche un poco más de lo esperado dada la poca inclinación de la órbita de los planetas respecto a la nuestra.

Animación cortesía de la Universidad de Nebraska. Traducciones por L. Mederos.Vídeo cortesía de MinutePhysics.

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