problema de ortodrómica

[olasvan]

Buenas. Llevo un rato dando vueltas a esta pregunta y no tengo forma de solucionarlo. La transcribo con las opciones posibles pero no tengo ni idea de como resolverlo:
Navegamos por ortodrómica desde el punto 40° N, 100°W. Si el rumbo inicial es 270°, ¿cuál será la longitud cuando la latitud sea 0°?
Señala la respuesta correcta.
80° E
80° W
170° E
170° W

La cuestión es que trato de montar un triángulo esférico y al no tener ángulo en el polo ni distancia ortodrómica no puedo resolverlo. Imagino que sabiendo trigonometría esférica en profundidad será fácil, pero yo no lo consigo con la básica para hacer los problemas de navegación astronómica

Gracias

[Tropelio]

Hola,

No tienes el ángulo en el polo, claro, es justo lo que tienes que calcular para poder responder. Pero evidentemente tienes datos suficientes para resolver el triángulo aplicando las veces necesarias (2) el teorema de los cosenos porque conoces la latitud de salida, la latitud de llegada y el rumbo inicial. Así que no veo problema alguno: dibujas el triángulo y miras a ver qué conoces para empezar a aplicar el teorema de los cosenos..... Venga, que tu puedes.

Saludos,
Tropelio

[pacoperas]

Hola a todos.

Este es mi primer mensaje después del tsunami que arrasó el foro. Ojalá no se repita.

Me ha gustado este problemita que se sale de la rutina a la que estamos acostumbrados. Mis felicitaciones al que lo planteó que, estoy seguro, quiso comprobar la capacidad de pensar y no la de la aplicación de formulones.

Con un poco de visión espacial o un dibujito el problema se resuelve, dados los datos, en un instante. Creo que he dado demasidas pistas, así que

Saludos

[Tropelio]

Hola Olasvan,

¿Qué, cómo va la resolución del ejercicio? ¿No te han servido los comentarios de Pacoperas (bienvenido de nuevo tras el Desastre Universal) y los mios? Si no consigues entenderlo/resolverlo cuéntanos tus dudas. Se trata de que te pegues con el problema y lo resuelvas, no de que te pongamos la resolución, así no se aprende.

Y sí, es una interesante manera la de este ponente de comprobar si el aspirante a Capitán piensa o lorifica. Estoy muy de acuerdo con esta manera de preguntar. No todos los ponentes de exámenes de náutica de recreo son iguales....

Saludos,
Tropelio

[Tropelio]

Buenos días,

Como te dije en el hilo del problema de Andalucía, contesto aqui a tus dudas sobre el problema de navegación ortodrómica que planteaste aquí. No entiendo por qué tienes líos en este caso y no en otro cualquiera, este problema no tiene nada de particular con respecto a otro en el que los datos sean diferentes. Ciertamente cuando planteas el triángulo esférico correspondiente a este caso hay ángulos que toman valores de 90º y 270º, pero el seno y el coseno de esos ángulos no tienen nada de particular (a parte de ser cero o uno), están perfectamente definidos y, como es natural, el teorema de los cosenos se aplica exactamente igual a este caso, con la ventaja de que se resuelve sin necesidad de calculadora precisamente por los valores 0 ó 1 del seno y el coseno de algunos de sus elementos. Lo que hay que ahcer siempre, como tantas veces insisto, es dibujar un esquemita para no liarse. Aquí te pongo el que acabo de hacer modificando la figura que en su momento hice para el libro:



Mirando ese triángulo está claro que primero hemos de calcular la distancia navegada, Do, utilizando el teorema de los cosenos de manera inteligente. Si aplicas el teorema empezando el lado de 90º lo que tienes es:

cos(90) = cosDo cos50 + sinDo sin50 cos270

Pero como cos90 = 0 y cos270 = 0, esta ecuación queda simplemente así:

0 = cosDo cos50.

cuya solución es cosDo = 0 porque, desde luego, cos50 no es cero y, sin embargo, la ecuación dice que el producto de ambos cosenos ha de ser cero. Y como cosDo es cero pues entonces Do es 90º.

Ahora ya podemos aplicar nuevamente el teorema de los cosenos empezando esta vez por el lado Do (90º) para poder despejar D_L:

cos90 = cos90 cos50 + sin90 sin50 cosD_L

Y teniendo en cuenta de nuevo que cos90 = 0, sin90 = 1 esa ecuación queda simplemente así:

0 = sin50 cosD_L

Así que, como antes, cosD_L tiene que ser 0 porque sin50 no lo es. Entonces D_L=90º W. Al oeste porque el rumbo incial es 270º, claro. Así que si estabas inicialmente en L = 100º W y terminas 90º mas al W, la longitud final es 190º W, o sea, lo que habitualmente llamamos 170º E. La respuesta correcta es la c).

Como ves, no hay nada de especial en este problema, se resuelve de la misma manera que todos: esquema del triángulo, teorema de los cosenos las veces que sean necesarias y listo. Además mucho más sencillo, ni siquiera es necesaria una calculadora.

Saludos,
Tropelio

[olasvan]

Perdonad que insista pero sigo teniendo el mismo problema. Aplicar aquí el teorema de los cosenos o de las cotangentes es sencillo. Mi duda es y al hilo de este problema, si tuviéramos el mismo caso pero en vez del punto de llegada con 0 grados de latitud, tuviéramos punto de llegada por ejemplo latitud 20 grados y por tanto el lado del triángulo del punto de llegada fuera 70 grados y el rumbo fuera por ejemplo 260 grados. En tal caso el planteamiento sería:
cos(70) = cosDo cos50 + sinDo sin50 cos260
En tal caso ¿cómo se despeja para hallar Do? Insisto en que probablemente es cuestión de saber más trigonometría y matemáticas, pero me gustaría saberlo
Gracias
Saludo

[Tropelio]

Hola,

Bueno, siempre tienes otra ecuación porque para cualquier ángulo tienes que sin^2(a) + cos^2(a) = 1. Eso te permite escribir tu ecuación solo en función del seno o solo en función del coseno de Do. Eso sí, te sale una ecuación de segundo grado que tiene dos soluciones que tendrás que saber interpretar correctamente para saber cual es la buena en tu caso...

Pero en esta misma web tienes un documento con las matemáticas de la ortodrómica cuyo autor es nuestro contertulio BouFort que ultimamente está muy laxo y falto de voluntad y no dice nada. Lo mismo es que está levantando España duramente....

Aquí tienes el documento de BouFort:

http://www.rodamedia.com/navastro/boufo ... romica.pdf

Saludos,
Tropelio

[pacoperas]

Hola a todos.

Tropelio ha dado la solución general, válida para cualquiera datos, mi comentario en cambio era para este problema en particular.
La clave es el rumbo inicial 270º. Esto nos indica que la ortodrómica es tangente al paralelo y, por tanto, estamos en el vértice de ella.
Como los puntos en la ortodrómica corta al ecuador están separados en longitud 90º del vértice tenemos 100ºW + 90W = 190W = 170E. Más largo de explicar que de resolver

Saludos

[olasvan]

Muchas gracias, lo cierto es que ya había consultado ese documento pero para los que somos de letras es un poco impactante
Por cierto, hoy han publicado las calificacioes del examen del pasado sábado en Andalucía. Suerte a los que estén esperando resultados. En mi caso he aprobado todo y en gran parte se lo debo a Luis y su inestimable e incansable ayuda y paciencia conmigo
Saludos y de nuevo agradecimientos a todos y especialmente a Luis y enhorabuena por el libro de navegación astronómica 6 edición que recomiendo encarecidamente
Quedo a vuestra disposición

[pacoperas]

Enhorabuena, olasvan.